Để nhiều người, câu hỏi tưởng như là một trong những trò đùa: “Tại sao 1 + 1 = 2?” lại là một trong những thử thách khó khăn nhất. Tại sao? Vì nó gần như là hiển nhiên. Bạn có một quả táo, sau đó có người cho bạn một quả táo nữa, thì bạn sẽ có hai quả táo, tự nhiên như vậy.
Nội dung
Chứng minh 1 + 1 không bằng 2
Tuy nhiên, nếu nhìn từ góc độ của Toán học hiện đại, việc chứng minh “1 + 1 = 2” thực ra là thừa, vì nó không còn ý nghĩa gì khác, thậm chí ngay cả “1 + 1” cũng có thể được chứng minh không bằng 2.
Hãy để tôi giới thiệu một cách xây dựng mà ở đó “1 + 1” sẽ không còn bằng 2 nữa, mà sẽ trở thành cái gì đó khác theo quan điểm của Toán học.
Trước tiên, chúng ta cần hiểu một số khái niệm cơ bản:
1. Tập hợp
Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong Toán học, nên không có câu trả lời cho câu hỏi “Tập hợp là gì?”, mà khi nói tới Tập hợp, ta nói đến các đối tượng trong đó được gọi là phần tử. Do đó, ta có cách để gọi Tập hợp dựa trên tính chất của các phần tử trong đó.
Ví dụ: “Tập hợp số Tự nhiên” cho ta tập hợp có các phần tử là các số 0, 1, 2, 3,…
“Tập hợp các phương tiện giao thông trên đường” cho ta tập hợp có các phần tử là xe ôtô, xe gắn máy, xe đạp…
Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ in hoa, chẳng hạn như tập hợp A, tập hợp B, tập hợp số tự nhiên N,…
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một phép toán trên tập hợp là tích Descarte. Cho hai tập hợp A và B, tích Descarte của A và B được ký hiệu là AxB và là một tập hợp gồm các phần tử có dạng (x; y), trong đó x là phần tử của A, y là phần tử của B (theo đúng thứ tự trước và sau như thế).
2. Ánh xạ
Cho hai tập hợp X và Y, một phép tương ứng “mỗi phần tử x của X với duy nhất một phần tử y của Y” được gọi là một ánh xạ.
Khi đó, chúng ta cần lưu ý rằng trong định nghĩa này, nếu x thuộc X thì phải có, và chỉ có 1 phần tử y thuộc Y tương ứng với x, nếu không có x mà không có y hoặc có 2 phần tử thuộc Y tương ứng thì đó không gọi là ánh xạ.
Người ta ký hiệu ánh xạ là f từ X và Y, ảnh của phần tử x thuộc X được ký hiệu là f(x).
3. Xây dựng mô hình bài toán
Sau khi đã hiểu hai khái niệm trên, chúng ta sẽ xây dựng một mô hình cho bài toán “1 + 1 không bằng 2” nhé:
Cho tập hợp số tự nhiên N và tập hợp tên các loại trái cây, ký hiệu là T. Khi đó, tích Descarte của tập N và N là NxN gồm các phần tử có dạng (a; b) (ta gọi là cặp số (a; b)), trong đó a, b là các số tự nhiên.
Xét ánh xạ f từ tập NxN vào tập T, khi đó, tương ứng với mỗi cặp số (a; b) là một tên của một loại trái cây nào đó, là f(a; b). Ta ký hiệu f(a; b) = a + b (lưu ý, a + b ở đây chỉ là một ký hiệu mà thôi).
Khi đó, xét cặp số (1; 1), nó sẽ tương ứng với một tên trái cây nào đó trong tập T (chắc chắn là phải có theo định nghĩa ánh xạ), giả sử đó là “Trái cam”.
Khi đó ta có: f(1; 1) = “Trái cam”, hay nói cách khác, ta có “1 + 1 = Trái cam” (vì f(1; 1) = 1 + 1).
4. Kết luận
Từ mô hình trên, ta đã có được kết quả, 1 + 1 không phải là 2 nữa, mà nó có thể là bất cứ thức gì mà ta muốn. Ngoài ra, từ mô hình này ta cũng đã có câu trả lời cho câu hỏi “Tại sao 1 + 1 = 2”. Đó là: đây chỉ là quy ước của những phép Toán do con người đã đặt ra, nên con người hoàn toàn có thể thay đổi nó (ví dụ, thay vì ký hiệu dấu “+”, ta có thể ký hiệu dấu “-“, khi đó ta sẽ có “1 – 1 = 2”, mặc dù về bản chất thì không có gì thay đổi, chỉ có ký hiệu là thay đổi mà thôi).
Hy vọng nhận được ý kiến đóng góp từ các bạn!
