Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết về diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn và cách giải bài tập liên quan. Điều này sẽ giúp bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.
Nội dung
Hiểu Về Diện Tích Hình Tròn và Hình Quạt Tròn
I. Lý thuyết
- Công thức tính diện tích hình tròn
Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức:
S = π * R^2 (đơn vị diện tích)
- Công thức tính diện tích hình quạt tròn
Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n° được tính theo công thức:
S = π R^2 (n°/360) or S = l * R^2 (đơn vị diện tích)
(với l là độ dài cung n° của hình quạt tròn).
II. Cách Giải Các Dạng Bài Tập
- Dạng 1: Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn
- Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn.
Ví dụ 1: Điền vào ô trống bảng sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bán kính đường tròn
Độ dài đường tròn
Diện tích hình tròn
Số đo của cung tròn
Diện tích hình quạt tròn cung n°
12cm
45°
2cm
10,5cm2
40cm2
10cm2Lời giải:
- Độ dài đường tròn là 12cm nên C = 12cm. Bán kính đường tròn là:
R = C/2*π = 12/2*π = 1,91cm.Diện tích hình tròn bán kính 1,91cm là:
S = R^2 * π = 1,91^2 * π = 11,46cm2.Diện tích hình quạt tròn cung 45° là:
S' = π * R^2 * (n°/360) = π * 1,91^2 * 45/360 = 1,43cm2. - Bán kính đường tròn là 2 nên độ dài đường tròn là C = 2 π R = 2 π 2 = 12,57cm.
Diện tích hình tròn là:S = R^2 * π = 2^2 * π = 12,57cm2.Vì diện tích hình quạt tròn là 10,5cm2 nên số đo của cung tròn là:
n = 360 * S'/(π * R^2) = 360 * 10,5/(12,57 * 1,91^2) = 300°. - Vì diện tích hình tròn là 40cm2 nên bán kính đường tròn là:
R = √(S/π) = √(40/π) = 3,57cm.Chu vi cung tròn là:
C = 2 * π * R = 2 * π * 3,57 = 22,42cm.Vì diện tích hình quạt tròn bằng 1/4 diện tích hình tròn nên số đo cung tròn đó là 90°.
Ta có bảng sau:
Bán kính đường tròn
Độ dài đường tròn
Diện tích hình tròn
Số đo của cung tròn n°
Diện tích hình quạt tròn cung n°
1,91cm
12cm
11,46cm2
45°
1,43cm2
2cm
12,57cm
12,57cm2
300°
10,5cm2
3,57cm
22,42cm
40cm2
90°
10cm2Ví dụ 2: Cho hình vuông có cạnh 5cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).
Lời giải:
Gọi hình vuông nội tiếp đường tròn (O) là ABCD khi đó:
OA = OB = OC = OD = R ⇒ O là giao điểm của AC với BD ⇒ R = AC/2Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2 (định lý Py - ta - go)
⇔ AC^2 = 5^2 + 5^2
⇔ AC^2 = 25 + 25
⇔ AC^2 = 50
⇒ AC = √50 = 5√2 cmVậy bán kính đường tròn là:
R = AC/2 = 5√2/2 cmChu vi đường tròn là:
C = 2 * π * R = 2 * π * 5√2/2 = 5√2 * π cmDiện tích hình tròn là:
S = π * R^2 = π * (5√2/2)^2 = 5√2 * π/2 cm^2- Dạng 2: Tính diện tích một số hình đặc biệt liên quan đến hình tròn, hình quạt tròn.
- Phương pháp giải: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ hơn có công thức tính diện tích và sử dụng công thức để tính.
Ví dụ 1: Cho (O) đường kính AB = 43cm, điểm C thuộc (O) sao cho ABC^=30°. Tính diện tích viên phân AC (viên phân là phần hình giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).
Xét đường tròn (O) có:
- ABC^ và AOC^ là góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung .
⇒ AOC^ = 2 ABC^ = 2 30° = 60°
Diện tích hình quạt tròn AOC là:S_AOC = π * R^2 * (60°/360°) = π * R^2/6Xét tam giác AOC có:
- AOC^ = 60°
- OA = OC = R
Do đó tam giác AOC là tam giác đều cạnh bằng R.
Gọi CH là đường cao của tam giác AOC
Ta có sin60° = CH/CO (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒ CH = CO sin60° = 3 R/2 = 3R/2
Diện tích tam giác AOC là:S_AOC = 1/2 * CH * OA = 1/2 * 3R/2 * R = 3R^2/4Diện tích viên phân AC là:
S_AOC - S_AOC = (π * R^2/6) - (3R^2/4) = (2π - 9)R^2/12
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA và MB với A, B là các tiếp điểm.
a) Tính độ dài cung nhỏ AB.
b) Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM; BM và cung nhỏ AB.
Lời giải:
a) Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AM vuông góc với OA.
Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:
cosAOM^ = OA/OM = R/2R = 1/2 (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)
⇒ AOM^ = 60°. Mà OM là tia phân giác của góc AOB^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ AOB^ = 120°.
Độ dài cung là:
l = π * R * 120°/180° = 2πR/3(cm)b) Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:
AM^2 + OA^2 = OM^2 (định lý Py - ta - go)
⇔ AM^2 + R^2 = (2R)^2
⇔ AM^2 = 4R^2 - R^2
⇔ AM = R√3 (đơn vị độ dài)Diện tích tam giác OAM là:
S= 1/2 * AM * OA = 1/2 * R * √3 * R = R^2 √3/2 (đơn vị diện tích)Xét tam giác AOM và tam giác BOM có:
- OM chung
- OA = OB = R
- AM = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó ΔAOM = ΔBOM (c – c – c)
⇒ SAOM = SBOM = R^2 √3/2
S_AMB_O = SAOM + SBOM = R^2 √3/2 + R^2 √3/2 = R^2 (√3/2 + √3/2) = R^2 √3 (đơn vị diện tích)
Diện tích quạt tròn là:SqAB = π * R^2 * 120°/360° = π * R^2/3 (đơn vị diện tích)Diện tích phần giới hạn bởi tiếp tuyến MA; MB và cung nhỏ là:
S = SAOM - SqAB = R^2 √3 - π * R^2/3 (đơn vị diện tích)
III. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho hình vuông có cạnh 10cm. Tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn (O) nội tiếp hình vuông.
Bài 2: Một hình quạt có chu vi bằng 28cm và diện tích bằng 49cm2. Tính bán kính hình quạt tròn đó.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 3cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA; OC và cung nhỏ AC khi ABC^=60°.
Bài 4: Cho đường tròn (I; 2cm). Vẽ bán kính IA và IB sao cho AIB^=120°. Hãy tính a) độ dài cung nhỏ AB; b) diện tích hình quạt giới hạn bởi cung nhỏ AB và hai bán kính IA, IB.
Bài 5: Cho hai đường tròn đồng tâm O, bán kính lần lượt R = 5cm, r = 2cm. Lấy 2 điểm A, B thuộc (O; 2) sao cho AOB^=70°. Tia OA, OB cắt đường tròn (O; R) tại D và E, lấy điểm C thuộc đường tròn (O; r). a) Tính DOE^; DCE^; b) Tính độ dài đường tròn (O; R) và đường tròn (O; r); độ dài cung DE; c) Tính diện tích hình tròn (O; r) và hình quạt tròn DOE.
Bài 6: Cho (O) đường kính AB = 22cm, điểm C thuộc (O) sao cho ABC^=30°. Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) với AB; AC.
Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M thuộc đoạn AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả sử AM = 2cm và CD = 43cm. Tính a) độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O); b) độ dài cung và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ .
Bài 8: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm đoạn OB. Dây CD vuông góc với AB tại M. Điểm E chuyển động trên cung lớn CD (E khác A). Nối AE cắt CD tại K. Nối BE cắt CD tại H. a) Chứng minh bốn điểm B, M, E, K thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AE.AK không đổi. c) Tính theo R diện tích hình quạt giới hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt nhau tại M. a) Chứng minh rằng khi CD thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì độ lớn góc AMB^ không đổi. b) Cho ABC^=60°, tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích viên phân giới hạn bởi dây cung AC và cung nhỏ AC.
Bài 10: Cho hình vẽ là các cung tròn của các đường tròn có bán kính khác nhau được xếp nối tiếp nhau. Tính diện tích phần bị gạch trong hình vẽ biết HI = 10cm; HO = BI = 2cm.
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về cách tính diện tích hình tròn và hình quạt tròn cũng như cách giải các bài tập liên quan. Để tìm hiểu thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 và có đáp án, hãy ghé thăm trang web fptskillking.edu.vn.
