Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác một cách chi tiết và dễ hiểu. Bạn sẽ biết cách áp dụng công thức và làm các bài tập liên quan đến đường trung tuyến. Hãy cùng tìm hiểu ngay thôi!
A. Phương Pháp Giải
Đầu tiên, ta áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác ABC. Giả sử tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó, ta có công thức sau đây:
ma = √(2b^2 + 2c^2 – a^2)/2
mb = √(2c^2 + 2a^2 – b^2)/2
mc = √(2a^2 + 2b^2 – c^2)/2
B. Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm, CA = 8 cm, AB = 7 cm. Hãy tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác.
Hướng dẫn giải:
Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến từ các đỉnh A, B và C của tam giác ABC.
Áp dụng công thức trung tuyến, ta có:
ma = √(28^2 + 27^2 – 10^2)/2 = √(128 + 98 – 100)/2 = √126/2 = √63 = 7.937 cm
mb = √(27^2 + 210^2 – 8^2)/2 = √(98 + 200 – 64)/2 = √234/2 = √117 = 10.816 cm
mc = √(210^2 + 28^2 – 7^2)/2 = √(200 + 128 – 49)/2 = √279/2 = √139.5 = 11.802 cm
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu b^2 + c^2 = 5a^2 thì hai đường trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải:
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Đặt BE = mb, CD = mc.
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC, ta có:
mb = √(2c^2 + 2a^2 – b^2)/2
mc = √(2b^2 + 2a^2 – c^2)/2
Vì b^2 + c^2 = 5a^2, substituting into the formulas for mb and mc, we have:
mb = √(10a^2 – b^2)/2 = √(10a^2 – (5a^2 – c^2))/2 = √(5a^2 + c^2)/2
mc = √(10a^2 – c^2)/2 = √(10a^2 – (5a^2 – b^2))/2 = √(5a^2 + b^2)/2
Do đó, mb và mc có cùng một tử số, khác nhau về mẫu số. Vì vậy, ta có thể kết luận rằng hai đường trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến. Hãy tính độ dài AC.
Hướng dẫn giải:
Gọi BM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Áp dụng công thức đường trung tuyến, ta có:
BM = √(2AC^2 + 2AB^2 – BC^2)/2
Đáp án B
Ví dụ 4: Tam giác ABC có BC = 6, AC = , AB = 2. M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3. Giá trị của AM là?
Hướng dẫn giải:
Vì M thuộc BC, nên M là trung điểm của BC, suy ra AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Áp dụng công thức trung tuyến, ta có:
AM = √(2AB^2 + 2AC^2 – BC^2)/2 = √(22^2 + 2^2 – 6^2)/2 = √(8 + -36)/2 = √(-28)/2 = không có giá trị thực
Đáp án C
Ví dụ 5: Gọi S = ma^2 + mb^2 + mc^2 là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC, ta có:
ma = √(2b^2 + 2c^2 – a^2)/2
mb = √(2c^2 + 2a^2 – b^2)/2
mc = √(2a^2 + 2b^2 – c^2)/2
Tính tổng bình phương của ma, mb và mc, ta có:
S = ma^2 + mb^2 + mc^2 = (2b^2 + 2c^2 – a^2)/4 + (2c^2 + 2a^2 – b^2)/4 + (2a^2 + 2b^2 – c^2)/4
= (4a^2 + 4b^2 + 4c^2)/4
= (a^2 + b^2 + c^2)
Do đó, khẳng định A là đúng.
C. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tam giác ABC có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến AM.
Hướng dẫn giải:
Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến nên AM là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC, do đó BM = MC = 12/2 = 6 cm.
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AMC, ta có:
AC^2 = AM^2 + MC^2
⇒ AM = √(AC^2 – MC^2) = √(10^2 – 6^2) = √(100 – 36) = √64 = 8 cm
Bài 2. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc BAC^ = 120°, AB = 4 cm, AC = 6 cm
Hướng dẫn giải:
Ta có
BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2ABACcos(BAC^)
⇒ BC = √(4^2 + 6^2 – 246cos(120°)) = √(16 + 36 – 48*(-1/2)) = √(52 + 24) = √76 = 2√19
AM^2 = AB^2 + AC^2 – BC^2/4
⇒ AM = √(4^2 + 6^2 – (2√19)^2/4) = √(52 + 36 – 76/4) = √(88 – 19) = √69 = √(323) = √(3√529) = 3√3 cm
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Tính độ dài cạnh AB.
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6 cm.
Suy ra BC = 12 cm.
Mặt khác:
AB/AM = BC/BN
⇒ AB = AMBC/BN = 612/9 = 8 cm
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17 cm, BC = 16 cm. Kẻ trung tuyến AM.
a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
b) Tính độ dài AM.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên MB = MC.
Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
Vậy AM vuông góc với BC.
b. Ta có
BC = 16 cm nên BM = MC = 8 cm
AB = AC = 17 cm
Xét tam giác AMC vuông tại M.
Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC^2 = AM^2 + MC^2 ⇒ AM = √(17^2 – 8^2) = √(289 – 64) = √225 = 15 cm
Bài 5. Cho tam giác MNP cân ở M có MB = MC = 17 cm, NP = 16 cm. Kẻ trung tuyến MI.
a) Chứng minh: MI ⊥ NP;
b) Tính độ dài MI.
Hướng dẫn giải:
a) Do MI là đường trung tuyến MNP nên IP = IN.
Mặt khác tam giác MNP cân tại M.
Do đó MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao hay MI ⊥ NP.
b) Ta có:
NP = 16 cm nên NI = PI = 8 cm.
MN = MP = 17 cm.
Xét tam giác MIP vuông tại I
Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
MP^2 = MI^2 + IP^2 hay 17^2 = MI^2 + 8^2
⇒ MI^2 = 289 – 64 = 225
Suy ra MI = 15 cm.
Bài 6. Tam giác MNP cho biết NP = 20 cm, PM = 16 cm, MN = 14 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác MNP.
Bài 7. Cho tam giác ABC có a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại B có độ dài hai đường trung tuyến BM và CN lần lượt bằng 5 cm và 7 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 9. Tính độ dài đường trung tuyến BM của tam giác ABC có góc ABC^ = 120°, BC = 5 cm, AB = 10 cm.
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 6, BC = 10 và độ dài đường trung tuyến BM = 19. Tính độ dài AC.
Hy vọng rằng sau bài viết này, bạn đã hiểu thêm về công thức và cách tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác. Hãy thử làm các bài tập tự luyện để rèn kỹ năng của mình. Nếu cần thêm thông tin, hãy truy cập vào website fptskillking.edu.vn để tìm hiểu thêm những kiến thức bổ ích khác. Chúc bạn thành công!
