Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về công thức tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. Đây là một khái niệm quan trọng trong toán học không gian. Cùng nhau khám phá nhé!
Nội dung
Lý Thuyết Về Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Đầu tiên, chúng ta cần hiểu về khái niệm hai đường thẳng chéo nhau là gì. Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng, không cắt nhau và không song song. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài của đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.
Ký hiệu: d(a,b)=MN; với M ∈ a, N ∈ b, MN ⊥ a, MN ⊥ b
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể được tính bằng cách tìm khoảng cách từ một trong hai đường đó đến mặt phẳng song song chứa đường còn lại, hoặc tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường đó. Sau đó, chúng ta áp dụng công thức tính khoảng cách để tính khoảng cách theo yêu cầu đề bài ra.
Ký hiệu: d(a,b) = d(a,(Q)) = d(b,(P)) = d((P),(Q))
Các Phương Pháp Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Phương Pháp 1: Dựng Đoạn Vuông Góc Chung Của Hai Đường Thẳng Và Tính Độ Dài Của Nó
Phương pháp này sử dụng phương pháp dựng đoạn vuông góc với cả hai đường thẳng cần tính khoảng cách.
Ta dựng đoạn vuông góc với cả hai đường thẳng cần tính khoảng cách. Gọi A’,B’ lần lượt là chân đường vuông góc từ điểm A,B xuống đường thẳng cần tìm.
Suy ra: d(a,b) = AB
Trong trường hợp hai đường a và b chéo nhau và vuông góc với nhau, ta cũng có thể tìm được mặt phẳng (α) chứa a đồng thời vuông góc với b. Ta dựng đoạn vuông góc qua các bước sau:
- Dựng một mặt phẳng (α) chứa b và song song với a
- Tìm hình chiếu a’ của a lên (α)
- Xác định giao điểm N của đường thẳng a’ và b, dựng một đường thẳng qua điểm N và vuông góc với mặt phẳng (α), đường thẳng này cắt đường a tại M.
- Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung của a và b.
Ví dụ 1: Cho một tứ diện đều ABCD, độ dài các cạnh của tứ diện là 6√2 cm. Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và CD.
Hướng dẫn:
Gọi hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Dễ dàng chứng minh được MN là đường vuông góc chung. Khoảng cách giữa AB và CD là 6 cm.
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, có AB = a, BC = 2a, SA = 2a và vuông với đáy. Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SC?
Hướng dẫn:
Ta lấy điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật, từ đó AB sẽ song song với (SCD). Giả sử E là chân đường vuông góc hạ từ điểm A xuống SD, dễ dàng chứng minh được E chính là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (SCD).
Qua E ta kẻ đường thẳng song song với đường CD cắt SC tại N, qua N kẻ đường song song với AE cắt AB tại M, suy ra MN là đường vuông góc chung cần tìm.
Phương Pháp 2: Tính Khoảng Cách Từ Đường Thẳng Thứ Nhất Tới Mặt Phẳng Song Song Với Nó Và Chứa Đường Thẳng Thứ Hai
Đường thẳng thứ nhất song song với mặt phẳng (P), đường thẳng thứ hai nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau sẽ bằng khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất tới mặt phẳng.
a ∥ (P), b ⊂ (P) ⇒ d(a,b) = d(a,(P))
Ở phương pháp này, việc tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau thường được quy về tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.
Ví dụ 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA và cạnh đáy đều bằng a. Tính khoảng cách hai đường chéo nhau AB và SC.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, tam giác ABC vuông ở B. AB = BC = a, AA’ = a√3. Lấy D là trung điểm của BC. Tìm khoảng cách giữa AD và B’C’.
Phương Pháp 3: Tính Khoảng Cách Giữa Hai Mặt Phẳng Song Song Chứa Hai Đường Thẳng Đã Cho
Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (Q). Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau sẽ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đã cho.
a ⊂ (P), b ⊂ (Q), (P) ∥ (Q) ⇒ d(a,b) = d((P),(Q))
Ví dụ 1: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Tính khoảng cách giữa A’B và B’D theo a.
Ví dụ 2: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có hai đáy là hình bình hành có cạnh AB, AD lần lượt có độ dài bằng a và 2a, góc BAD bằng 60°, AA’, BD, DD’ lần lượt có trung điểm là M, N, P. Hình chiếu vuông góc của điểm B lên AD là H. Tính khoảng cách giữa MN và HP?
Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Cách Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Để tìm góc giữa hai đường thẳng chéo nhau, chúng ta có thể làm theo các cách sau:
-
Cách 1: Chọn hai đường thẳng a’,b’ cắt nhau lần lượt song song với hai đường a,b đã cho. Khi đó, góc cần tìm chính bằng góc giữa a’ và b’.
-
Cách 2: Chọn điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng a, từ A kẻ đường b’ đi qua A đồng thời song song với b. Khi đó, góc giữa a và b chính bằng góc giữa a’ và b.
Phương Pháp Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Chúng ta có thể tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng các phương pháp sau:
-
Nếu xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian, ta sẽ gắn góc đó vào một tam giác cụ thể và sử dụng các hệ thức lượng để tìm số đo góc đó.
-
Tính góc giữa hai đường thẳng dựa vào góc giữa hai vectơ. Áp dụng công thức:
Ví dụ 1: Hình chóp S.ABC có các cạnh SA = SB = SC = AB = AC = a√2, BC = 2a. Tính góc giữa AC và SB?
Lời giải:
Ta có:
Ví dụ 2: Hình chóp S.ABC có các cạnh SA = SB = SC = AB = a, AC = a√2, BC = a√3. Tính góc giữa AB và SC?
Lời giải:
Ta có:
[Chi tiết được hướng dẫn trong video]
Bài Tập Về Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Bài 1: Hai đường thẳng a, b chéo nhau, A, B ∈ a; C, D ∈ b. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. AD, BC chéo nhau
B. AD, BC song song hoặc cắt nhau
C. AD, BC cắt nhau
D. AD, BC song song
Hướng dẫn:
a, b chéo nhau suy ra a, b không đồng phẳng. Giả sử AD, BC đồng phẳng: nếu AD ∩ BC = I ⇒ I ∈ (ABCD) ⇒ I ∈ (a, b). Mà a, b không đồng phẳng nên không tồn tại điểm I. Vậy Điều giả sử là sai. Chọn đáp án A.
Bài 2: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc song song hoặc cắt nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không song song và cắt nhau thì chéo nhau.
C. Nếu hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
D. Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng chéo nhau.
Đáp án: D
Bài 3: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Hai đường thẳng được coi là chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
B. Hai đường thẳng sẽ song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung nào.
D. Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có vô số điểm chung khác.
Đáp án: A
Bài 4: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng?
A. Hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng song song khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
C. Hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau là hai đường thẳng không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì có điểm chung.
Đáp án: C
Bài 5: Cho 3 đường thẳng trong không gian a, b, c trong đó a//b, a chéo c. Khi đó b, c sẽ:
A. Trùng hoặc chéo nhau.
B. Cắt hoặc chéo nhau.
C. Song song hoặc chéo nhau.
D. Trùng hoặc song song với nhau.
Hướng dẫn:
Giả sử b//c, c//a ⇒ mâu thuẫn với giả thiết.
Đáp án: B
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), cạnh SA = a, ΔABC vuông tại A, AB = 2a, AC = 4a, MA = MB. Tính khoảng cách giữa SM và BC?
Kết Luận
Trên đây là những kiến thức cơ bản về công thức tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này. Hãy tham gia cùng FPT Skill King để khám phá thêm nhiều kiến thức thú vị khác nhé!
