Chào mừng bạn đến với Fptskillking.edu.vn! Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về công thức tính nhanh tỷ số thể tích của tứ diện đều. Đây là một bài toán thú vị và hữu ích không chỉ đối với quý thầy cô giáo mà còn các bạn học sinh.
Nội dung
- 1 Rèn luyện kỹ năng tính tỉ số thể tích khối đa diện thông qua các bài toán điển hình
- 2 Công thức 1: Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $V_1/V_2 = S_1/S_2$
- 3 Công thức 2: Công thức Simson (tỷ số thể tích) cho khối chóp tam giác $V_{S.A_1B_1C1}/V{S.ABC} = S_{A1}/SA * S{B1}/SB * S{C_1}/SC$
- 4 Công thức 3: Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy ($S_{B1}/S{A1} = k$) thì $V{S.B_1B_2…Bn}/V{S.A_1A_2…A_n} = k^3$
- 5 Công thức 4: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ lần lượt tại M, N, P sao cho $AM/A’A=x, BN/B’B=y, CP/C’C=z$ thì ${V{ABC.MNP}}= dfrac{x+y+z}{3} {V{ABC.A’B’C’}}$
- 6 Công thức 5: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ lần lượt tại M, N, P, Q sao cho $AM/A’A=X, BN/B’B=y, CP/C’C=z, DQ/D’D=t$ thì ${V{ABCD.MNPQ}}=dfrac{x+y+z+t}{4}{V{ABCD.A’B’C’D’}}$ và $x+z=y+t.$
- 7 Công thức 6: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành lần lượt tại M, N, P, Q sao cho $SM/SA=x, SN/SB=y, SP/SC=z, SQ/SD=t$ thì ${V{S.MNPQ}}=dfrac{xyzt}{4}left(dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t}right){V{S.ABCD}}$ và $dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}$.
- 8 Công thức 9: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số k có $dfrac{{V_1}}{{V_2}} = k^3.$
Rèn luyện kỹ năng tính tỉ số thể tích khối đa diện thông qua các bài toán điển hình
Trước khi bắt đầu, chúng ta hãy làm quen với một số bài toán điển hình để rèn luyện kỹ năng tính tỉ số thể tích khối đa diện.
-
Bài toán 1: Cho khối chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và V’ là thể tích khối chóp S.MNP. Hãy tính tỉ số V’/V.
Đáp án: D. V’/V = 1/4. Giải thích: Ta có V’/V = S(MNP)/S(ABC) = (1/2)^2 = 1/4. Chọn đáp án D.
-
Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi V’ là thể tích khối chóp S.MNPQ. Tính tỉ số V’/V.
Đáp án: C. V’/V = 1/2. Giải thích: Ta có V’/V = S(MNPQ)/S(ABCD) = 1/2. Chọn đáp án C.
Đây chỉ là hai ví dụ đơn giản để giúp bạn làm quen với bài toán tính tỉ số thể tích. Bạn hãy thử giải quyết các bài toán khác để nắm vững công thức này.
Công thức 1: Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $V_1/V_2 = S_1/S_2$
Câu 1: Cho khối chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và V’ là thể tích khối chóp S.MNP. Hãy tính tỉ số V’/V.
A. V’/V = 3/4.
B. V’/V = 1/3.
C. V’/V = 1/2.
D. V’/V = 1/4.
Giải: Ta có V’/V = S(MNP)/S(ABC) = (1/2)^2 = 1/4. Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi V’ là thể tích khối chóp S.MNPQ. Tính tỉ số V’/V.
A. V’/V = 3/4.
B. V’/V = 1/8.
C. V’/V = 1/2.
D. V’/V = 1/4.
Giải: Ta có V’/V = S(MNPQ)/S(ABCD) = 1/2. Chọn đáp án C.
Công thức 2: Công thức Simson (tỷ số thể tích) cho khối chóp tam giác $V_{S.A_1B_1C1}/V{S.ABC} = S_{A1}/SA * S{B1}/SB * S{C_1}/SC$
Công thức 3: Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy ($S_{B1}/S{A1} = k$) thì $V{S.B_1B_2…Bn}/V{S.A_1A_2…A_n} = k^3$
Công thức 4: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ lần lượt tại M, N, P sao cho $AM/A’A=x, BN/B’B=y, CP/C’C=z$ thì ${V{ABC.MNP}}= dfrac{x+y+z}{3} {V{ABC.A’B’C’}}$
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BB’ và C’C’ sao cho $MB/B’B=1/2, NC/C’C=1/4$. Thể tích của khối chóp tứ giác A.BMNC là ?
A. V/3.
B. 3V/8.
C. V/6.
D. V/4.
Giải. Ta có ${V_{A.BMNC}}=dfrac{x+y+z}{3}V=dfrac{dfrac{1}{2}+dfrac{1}{4}+0}{3}V=dfrac{V}{4}$. Chọn đáp án D.
Công thức 5: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ lần lượt tại M, N, P, Q sao cho $AM/A’A=X, BN/B’B=y, CP/C’C=z, DQ/D’D=t$ thì ${V{ABCD.MNPQ}}=dfrac{x+y+z+t}{4}{V{ABCD.A’B’C’D’}}$ và $x+z=y+t.$
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a. Gọi M là trung điểm của B’B’ và P thuộc cạnh D’D’ sao cho $DP=1/4D’D’$. Mặt phẳng (AMP) cắt C’C’ tại N. Thể tích khối đa diện AMNPQBCD bằng
A. 2a^3.
B. 3a^3.
C. 11/3a^3.
D. 9/4a^3.
Giải. Thể tích khối lập phương ${V_0}=8a^3$. Có $x=AA/A’A=0, y=BM/B’B’=1/2, z=CN/C’C’, t=DP/D’D’=1/4$ và $x+z=y+tLeftrightarrow 0+z=1/2+1/4Leftrightarrow z=3/4$.
Do đó ${V_{AMNPBCD}}=dfrac{x+y+z+t}{4}{V_0}=dfrac{0+1/2+3/4+1/4}{4}8a^3=3a^3$. Chọn đáp án B.
Công thức 6: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành lần lượt tại M, N, P, Q sao cho $SM/SA=x, SN/SB=y, SP/SC=z, SQ/SD=t$ thì ${V{S.MNPQ}}=dfrac{xyzt}{4}left(dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t}right){V{S.ABCD}}$ và $dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}$.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A, M, P cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại B’ và D’. Tỷ số $dfrac{{V{S.AB’MD’}}}{{V{S.ABCD}}}$ bằng
A. $dfrac{1}{6}$.
B. $dfrac{2}{3}$.
C. $dfrac{1}{3}$.
D. $dfrac{3}{4}$.
Giải. Đặt $x=SA/SA=1, y=SM/SB, z=SP/SC=1/2, t=SN/SD$. Thì $dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}=dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=3$
Và $dfrac{{V{S.AB’MD’}}}{{V{S.ABCD}}}=dfrac{1}{4}xyztleft(dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t}right)=dfrac{3}{4}yt$
Ta có $3=dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t} ge 2sqrt{dfrac{1}{y}dfrac{1}{t}} Rightarrow yt ge dfrac{4}{9} Rightarrow dfrac{{V{S.AB’MD’}}}{{V{S.ABCD}}}=dfrac{3}{4}yt ge dfrac{1}{3}$. Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Gọi $V_1$ là thể tích khối chóp S.AMNP. Giá trị nhỏ nhất của $dfrac{{V_1}}{V}$ bằng
A. $dfrac{1}{3}$.
B. $dfrac{2}{3}$.
C. $dfrac{1}{8}$.
D. $dfrac{3}{8}$.
Giải. Đặt $x=SA/SA=1, y=SM/SB, z=SP/SC=1/2, t=SN/SD$ thì $dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}=dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=3$
Và $dfrac{{V_1}}{V}=dfrac{1}{4}xyztleft(dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t}right)=dfrac{3}{4}yt$
Ta có $3=dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t} ge 2sqrt{dfrac{1}{y}dfrac{1}{t}} Rightarrow yt ge dfrac{4}{9} Rightarrow dfrac{{V_1}}{V}=dfrac{3}{4}yt ge dfrac{1}{3}$. Chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Gọi $V_1$ là thể tích khối chóp S.AMNP. Tính giá trị nhỏ nhất của $dfrac{{V_1}}{V}$.
A. $dfrac{1}{3}$.
B. $dfrac{2}{3}$.
C. $dfrac{1}{8}$.
D. $dfrac{3}{8}$.
Giải. Đặt $x=SA/SA=1, y=SM/SB, z=SP/SC=1/2, t=SN/SD$ thì $dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}=dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=3$
Và $dfrac{{V_1}}{V}=dfrac{1}{4}xyztleft(dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t}right)=dfrac{3}{4}yt$
Ta có $3=dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t} ge 2sqrt{dfrac{1}{y}dfrac{1}{t}} Rightarrow yt ge dfrac{4}{9} Rightarrow dfrac{{V_1}}{V}=dfrac{3}{4}yt ge dfrac{1}{3}$. Chọn đáp án A.
Công thức 9: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số k có $dfrac{{V_1}}{{V_2}} = k^3.$
Ví dụ 1: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi $V’$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỷ số $dfrac{{V’}}{V}$.
A. $dfrac{8}{27}$.
B. $dfrac{1}{27}$.
C. $dfrac{4}{27}$.
D. $dfrac{4}{9}$.
Giải. Gọi $A’, B’, C’, D’$ lần lượt là trọng tâm các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). Ta có $dfrac{{A’B’}}{AB}=dfrac{{A’C’}}{AC}=dfrac{{A’D’}}{AD}=dfrac{1}{3}$. Khối tứ diện $A’B’C’D’$ đồng dạng với khối tứ diện ABCD theo tỉ số $k=dfrac{1}{3}$.
Do đó $dfrac{{V’}}{V}=k^3=left(dfrac{1}{3}right)^3=dfrac{1}{27}$. Chọn đáp án B.
Chúng ta vừa tìm hiểu qua một số công thức tính nhanh tỷ số thể tích của các khối đa diện. Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến tính thể tích một cách dễ dàng và nhanh chóng.
Nếu bạn cần thêm thông tin chi tiết về các công thức này, hãy để lại bình luận bên dưới. Chúng tôi sẽ gửi cho bạn bản PDF của bài viết này.
Hãy luôn theo dõi Fptskillking.edu.vn để cập nhật các bài viết mới và hữu ích khác về toán học. Bạn cũng có thể tải về bài viết này từ đây. Chúc bạn thành công trong việc nắm vững kiến thức và ứng dụng chúng vào thực tế!
