Tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều là các khái niệm quen thuộc trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều, cùng với cách giải quyết các bài toán liên quan.
Phương pháp giải
Khi giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều, chúng ta có thể sử dụng một số tính chất sau để giải quyết bài toán:
-
Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều), đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân của tam giác.
-
Từ các tính chất trên, ta có thể dễ dàng chứng minh được một số tính chất khác, như:
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
- Trong tam giác đều, trọng tâm của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.
- Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM = 12BC. Hãy chứng minh rằng BMA^ = 2MAC^ và CMA^ = 2MAB^.
Hướng dẫn giải:
Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC và AM = 12BC, ta có MA = MB = MC = 12BC.
Suy ra ΔMAB, ΔMAC là các tam giác cân tại M.
Do đó BMA^ = MBA^ và CMA^ = MCA^.
Xét ΔACM có BMA^ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh M, nên BMA^ = MAC^ + MCA^ = 2MAC^.
Tương tự, ta có CMA^ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh M của ΔABM, nên CMA^ = MAB^ + MBA^ = 2MAB^.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Hướng dẫn giải:
Xét ΔABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Ta sẽ chứng minh AM = 1/2 BC.
Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA.
Ta có AM = 1/2 AD, cần chứng minh AD = BC.
Xét ΔBMD và ΔCMA có:
- MB = MC (do M là trung điểm của BC).
- BMD^ = CMA^ (đối đỉnh).
- MD = MA (theo cách dựng).
Do đó, ΔBMD = ΔCMA (cùng cạnh, cùng đỉnh, cùng góc).
Suy ra BD = CA (hai cạnh tương ứng) và DBM^ = ACM^ (hai góc tương ứng).
Mà DBM^ và ACM^ ở vị trí so le trong nên BD // AC.
Lại có BAC^ = 90° nên ABD^ = 90°.
Xét ΔCAB và ΔDBA có: - BAC^ = ABD^ = 90°.
- AB là cạnh chung.
- AC = BD (chứng minh trên).
Do đó, ΔCAB = ΔDBA (hai cạnh góc vuông).
Suy ra BC = AD (hai cạnh tương ứng).
Vậy AM = 1/2 BC.
Ví dụ 3: Cho ΔABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA. Tính ABD^.
Hướng dẫn giải:
Xét ΔAMC và ΔDMB có:
- MC = MB (do M là trung điểm của BC).
- AMC^ = DMB^ (hai góc đối đỉnh).
- MA = MD (giả thiết).
Do đó, ΔAMC = ΔDMB (cùng cạnh, cùng đỉnh, cùng góc).
Suy ra MAC^ = MDB^ (hai góc tương ứng) hay DAC^ = ADB^.
Mà hai góc DAC và ADB ở vị trí so le trong nên BD // AC.
Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ BD (từ vuông góc đến song song).
Do đó ABD^ = 90°.
Bài tập tự luyện
-
Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Biết BAM^ = 30°, số đo CAM^ là:
A. 15°;
B. 30°;
C. 45°;
D. 60°. -
Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến. Biết AM = MB = MC. Cho biết tam giác ABC là tam giác gì?
A. ΔABC cân tại A;
B. ΔABC vuông tại A;
C. ΔABC đều;
D. ΔABC vuông cân tại A. -
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH ⊥ BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Điểm C là trọng tâm của tam giác nào?
A. ΔABD;
B. ΔADE;
C. ΔABE;
D. ΔAHE. -
Cho ΔABC có hai đường trung tuyến BN, CP vuông góc với nhau tại G. Biết độ dài BC = 5cm. Độ dài AG là:
A. 2 cm;
B. 3 cm;
C. 5cm;
D. 8 cm. -
Cho ΔABC vuông tại A, trung tuyến AM. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AM = AB + AC/2;
B. AM > AB + AC/2;
C. AM < AB + AC/2;
D. AM = AB + AC. -
Cho ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Tam giác GBC là tam giác:
A. cân tại G;
B. vuông tại G;
C. đều;
D. cân tại B. -
Cho ΔABC cân tại A có đường trung tuyến AM. Số đo AMB^ là:
A. 45°;
B. 60°;
C. 30°;
D. 90°. -
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD, CE sao cho BD = CE. Khi đó tam giác ABC là tam giác:
A. cân tại B;
B. cân tại C;
C. vuông tại A;
D. cân tại A. -
Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. GA = GB = GC;
B. GA = GB > GC;
C. GA < GB < GC;
D. GA > GB > GC. -
Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K. Gọi I là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Ba điểm C, K, I thẳng hàng.
B. K là trọng tâm của tam giác ABC.
C. AK là đường trung tuyến của tam giác ABC;
D. BD là đường phân giác của tam giác ABC.
Đây chỉ là những ví dụ đơn giản, nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết, bạn có thể truy cập trang web fptskillking.edu.vn. Hãy nắm vững kiến thức để có thể giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Săn shopee siêu SALE:
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti’s ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L’Oreal mua 1 tặng 3
