Trong toán học, chúng ta thường gặp nhiều ký hiệu để biểu thị cho một tập hợp số như N, Z, Q, R,… Tuy nhiên, trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về tập hợp Z – tập hợp số nguyên. Hãy cùng Fptskillking.edu.vn khám phá tập hợp Z bao gồm những số nào và một số bài toán minh họa nhé!
Nội dung
1. Z Là Tập Hợp Số Nguyên – Định Nghĩa
Tập hợp Z được định nghĩa là tập hợp của các số nguyên, bao gồm số nguyên dương, số nguyên âm và số 0. Đây là một tập hợp không giới hạn, được sắp xếp theo thứ tự tự nhiên. Các số dương được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và các số âm được sắp xếp theo thứ tự giảm dần. Ví dụ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… đều là các số thuộc tập hợp Z. Tuy nhiên, các số như 1.3, 2/5, -3/6,… không thuộc tập hợp Z.
Tập hợp Z bao gồm số 0, số nguyên âm (ký hiệu là Z-) và số nguyên dương (ký hiệu là Z+). Ta có thể biểu diễn tập hợp Z trên trục số như sau:
2. Ký Hiệu Tập Hợp Z
Trong tập hợp Z, chúng ta có những ký hiệu sau:
-
Tập hợp Z+ là tập hợp các số nguyên dương, bao gồm các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 1. Tập hợp Z+ có thể được biểu diễn dưới dạng: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}
-
Tập hợp Z- là tập hợp các số nguyên âm, bao gồm các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng -1. Tập hợp Z- có thể được biểu diễn dưới dạng: Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1}
-
Tập hợp Z là tập hợp tất cả các số nguyên, trừ số 0. Nó có thể được biểu diễn như sau: Z = {…, -2, -1, 1, 2,…} hoặc Z* = Z {0}
-
Tập hợp Zn là tập hợp các lớp tương đương của các số nguyên modulo n. Ví dụ: Z2 = {1+2Z, 1+ 2Z, 3+ 2Z} được hiểu là tập hợp các lớp tương đương của các số nguyên modulo 2.
Tổng hợp lại, ta có các ký hiệu liên quan đến tập hợp Z gồm: Z+, Z-, Z*, Zn. Lưu ý là số 0 không thuộc tập hợp Z+ hoặc Z-, nhưng vẫn thuộc tập hợp Z.
3. Số Nguyên Là Gì?
Số nguyên là một số không chứa phần phân số. Đó là các số tự nhiên dương (1, 2, 3, 4, 5, …) và các số tự nhiên âm (-1, -2, -3, -4, -5, …) cùng với số 0. Số nguyên được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ đếm số lượng (số sinh viên trong một lớp học, số người trong một gia đình, số lượng sản phẩm được sản xuất trong một ngày,…) đến các ứng dụng trong toán học, khoa học máy tính, vật lý, kinh tế học, và nhiều lĩnh vực khác.
4. Tính Chất Của Số Nguyên Z
Tập hợp số nguyên Z có những tính chất sau:
-
Tổng và hiệu của hai số nguyên là một số nguyên. Tích của hai số nguyên cũng là một số nguyên. Từ đó, ta có thể thấy tập hợp số nguyên Z là tập hợp đóng với phép toán cộng, hiệu và nhân.
-
Tuy nhiên, thương của hai số nguyên chưa chắc là một số nguyên, do đó có thể nói tập hợp Z không đóng với phép chia.
-
Số nguyên là vô hạn, nên không thể biết được số nguyên dương lớn nhất và số nguyên âm nhỏ nhất.
-
Số nguyên dương trong tập hợp Z nhỏ nhất là 1.
-
Số nguyên âm trong tập hợp Z lớn nhất là -1.
-
Trong một tập hợp Z hữu hạn, tập con sẽ có số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất đã được xác định.
5. So Sánh Hai Số Nguyên
Khi so sánh hai số nguyên, chúng ta có các quy tắc sau:
-
Trường hợp hai số nguyên khác dấu, số âm luôn nhỏ hơn số dương.
-
Trường hợp hai số cùng dấu đối với số nguyên âm, ta sẽ so sánh giá trị tuyệt đối của hai số đó, giá trị nào lớn hơn thì số âm đó bé hơn.
Ví dụ: So sánh -20 và -30, ta thấy 20 < 30, nhưng đây là số âm nên -20 > -30.
6. Quan Hệ Giữa Tập Hợp Z Với Các Tập Hợp Số Khác
Tập hợp Z có mối quan hệ với các tập hợp số khác như sau:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Trong đó, “⊂” ký hiệu tập con.
Cụ thể:
-
Tập hợp N (số nguyên dương) là một tập hợp con của tập hợp Z. Tập hợp N bao gồm các số nguyên dương, trong khi tập hợp Z bao gồm tất cả các số nguyên dương, số 0 và các số nguyên âm. Ví dụ: N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
-
Tập hợp Q (số hữu tỉ) là tập hợp các số nguyên và các số được biểu diễn dưới dạng phân số.
-
Tập hợp R (số thực) là tập hợp số hữu tỉ và số vô tỉ, sẽ bao gồm tất cả các số trên trục số. Tập hợp Z là một tập con của tập hợp R.
Ngoài ra, chúng ta còn có tập hợp C (số phức) chứa tất cả các số phức, bao gồm số thực và số ảo. Tập hợp Z cũng có mối quan hệ với các tập hợp số khác như sau: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
7. Bài Tập Về Tập Hợp Số Nguyên Z
Dưới đây là một số bài tập về tập hợp số nguyên Z:
Dạng 1: Tính giá trị
- a. (-60) + 70 + 20
- b. (-15) + 45 – (-65)
- c. (-10) x (-3) + 10
- d. (-60) : 2 + (-30) : 5
Lời giải:
- a. Đáp số: 30
- b. Đáp số: 95
- c. Đáp số: 40
- d. Đáp số: -36
Dạng 2: Biểu diễn các điểm trên trục số
Bài tập: Trên trục số, vẽ các điểm E, F, G biểu diễn lần lượt số -3, 1, 4.
Lời giải: Các điểm được biểu diễn trên trục tọa độ như sau:
Dạng 3: Tìm giá trị x
Bài tập: Hãy tìm số nguyên x trong các bài toán sau:
- a. -1 < x < 4
- b. 3 < x < 10
- c. 2 ≤ x + 3 < 5
- d. 0 < x – 4 ≤ 5
Lời giải:
- a. x nằm trong khoảng từ -1 đến 4, nên ta có x = {0;1;2;3}
- b. x nằm trong khoảng từ 3 đến 10, nên ta có x = {4;5;6;7;8;9}
- c. x nằm trong khoảng từ -1 đến 2, nên ta có x = {-1;0;1}
- d. x nằm trong khoảng từ 4 đến 9, nên ta có x = {5;6;7;8;9}
Dạng 4: Nhận biết số nguyên âm và dương trong thực tế
Bài tập:
- a. Bạn A nợ 3 triệu đồng
- b. Chị C mua 3 con gà
- c. Nhiệt độ ở Bắc cực dưới 0 độ C ở mức số 5
- d. Một đỉnh núi cao 1650m
Lời giải:
- a. A nợ tiền, vậy là sẽ ở mức âm (-3.000.000 đồng)
- b. Gà là vật có thật, mua vào tức là có 3 con
- c. Nhiệt độ dưới 0 độ C, tức là -5 độ C
- d. Đỉnh núi ta sẽ trình bày theo chiều dương là 1650
Thông qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về tập hợp số nguyên Z cũng như một số dạng bài tập liên quan. Hy vọng rằng, bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tập hợp Z và các tính chất của nó. Nếu còn bất kỳ câu hỏi nào, hãy để lại bình luận dưới đây!
Đọc thêm: fptskillking.edu.vn
