Chào mừng các bạn đến với FPT Skill King! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá phương pháp đổi biến số trong tích phân. Đây là một trong những phương pháp quan trọng và được sử dụng rất nhiều trong giải các dạng bài tập tích phân. Khi áp dụng phương pháp này, việc giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn bao giờ hết.
Nội dung
1. Phương pháp đổi biến số là gì?
Phương pháp đổi biến số giúp biến đổi tích phân ban đầu thành một dạng dễ tính hơn. Điều này giúp chúng ta tìm được kết quả nhanh chóng và chính xác hơn. Dưới đây là một số công thức nguyên hàm được sử dụng khi áp dụng phương pháp đổi biến số:
Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 2)^{3}$
Giải:
Ví dụ 2: Tính tích phân sau $I=-int_{1}^{0}x(1-x)^{19}dx$
Giải:
2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và ví dụ
Để tìm nguyên hàm của một hàm số, chúng ta thường sử dụng hai phương pháp đổi biến số: phương pháp đổi biến số loại 1 và phương pháp đổi biến số loại 2.
2.1. Phương pháp đổi biến số loại 1
Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 1, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Đặt ẩn phụ $t = u(x)$
- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'(x)dx$
- Bước 3: Biểu diễn $f(x)$ và $dx$ theo $t$ và $dt$. Giả sử $f(x)dx = g(t)dt$
Nếu hàm số chứa $sqrt[n]{g(x)}$, ta đặt $t = sqrt[n]{g(x)} Rightarrow t^{n} = g(x) Rightarrow n.t^{n-1}dt = g'(x)dx$
Nếu hàm số chứa $(ax+b)^{n}$, ta đặt $t = ax+b Rightarrow dt = adx$ hoặc $x = frac{t-b}{a}$
Ví dụ:
Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau:
a) $int frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$
b) $int x^{3} sqrt{x^{2}+9}dx$
Giải:
2.2. Phương pháp đổi biến số loại 2
Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 2, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Đặt ẩn phụ $x = u(t)$
- Bước 2: Tìm vi phân $dx = u'(t)dt$
- Bước 3: Biểu diễn hàm số $f(x)$ và $dx$ theo $t$ và $dt$. Giả sử $f(x)dx = g(t)dt$
- Bước 4: Tính $I = int g(t)dt$
Ví dụ:
Ví dụ: Tìm nguyên hàm:
a) $int xe^{x^{2}}dx$
b) $int frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$
Giải:
3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
3.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Đặt $t = u(x)$ để đổi cận tích phân
Ví dụ:
a) $int^{frac{π}{2}}_{0}sin^{2}x cos^{3}xdx$
b) $int^{efrac{π}{2}}_{0}frac{cos(Inx)}{x}dx$
3.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Đặt $x = u(t)$ để đổi cận tích phân
Ví dụ:
Tính tích phân: $I = int^{2}_{1}x^{2}sqrt{4-x^{2}}dx$
Giải:
4. Các bài tập về phương pháp đổi biến số giải nguyên hàm, tích phân
Để nắm vững kiến thức, hãy tham khảo những bài tập về phương pháp đổi biến số trong giải tích nguyên hàm và tích phân dưới đây:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: $int frac{2sinx}{1+3cosx}dx$
Giải:
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau $int frac{In^{2}x-1}{xInx}dx$
Giải:
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: $int xe^{x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm $int frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$
Giải:
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $int frac{x}{(2x+1)^{3}}$
Giải:
Ví dụ 6: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}frac{1}{1+x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 7: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}sqrt{1-x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 8: Tính tích phân $I=int_{0}^{1}x^{5}(1-x^{3})^{6}dx$
Giải:
Ví dụ 9: Tính tích phân $I=int^{0}_{-1}x^{2}(1-x)^{9}dx$
Giải:
Ví dụ 10: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}(1+3x)(1+2x+3x^{2})^{10}dx$
Giải:
Hãy theo dõi và thực hiện những bài tập trên để hiểu rõ hơn về phương pháp đổi biến số trong tích phân và nguyên hàm. Nếu cần thêm tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia, hãy đăng ký ngay tại FPT Skill King!
Trên đây là toàn bộ kiến thức về tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và các dạng bài thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết này, các bạn đã tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập sử dụng phương pháp đổi biến số. Hãy truy cập fptskillking.edu.vn để tìm hiểu thêm nhiều kiến thức toán học lớp 12 hữu ích!
XEM THÊM:
