Nếu bạn đã từng học môn Toán, chắc hẳn bạn không thể không biết đến Định lý Ta Lét. Đây là một trong những định lý cơ bản được sử dụng phổ biến trong hình học. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng điểm qua vài khái niệm căn bản về Định lý Ta Lét để hiểu rõ hơn về nó.
Nội dung
Định lí Ta-lét đảo
Định lí Ta-lét đảo là một trong những định lí quan trọng nhất trong hình học. Nó có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác và đường thẳng.
Ví dụ: $Delta ABC$ có $frac{{AD}}{{DB}} = frac{{AE}}{{EC}} Rightarrow DE//BC$.
Hệ quả của định lí Ta-lét
Hệ quả của định lí Ta-lét cũng là một khái niệm quan trọng và được sử dụng rất nhiều trong hình học. Nó giúp chúng ta rút ra các kết luận về tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.
Nếu trong tam giác $ABC$, ta có $DE//BC$, thì $frac{{AD}}{{AB}}= frac{{AE}}{{AC}} = frac{{DE}}{{BC}}$.
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng (a) song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
Ở hai hình trên $Delta ABC$ có $BC//B’C’ Rightarrow frac{{AB’}}{{AB}} = frac{{AC’}}{{AC}} = frac{{B’C’}}{{BC}}$.
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích và các tỉ số.
Phương pháp:
Sử dụng định lí Ta-lét, hệ quả định lí Ta-lét, tỉ số đoạn thẳng để tính toán.
-
Định lý: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
-
Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho.
-
Ngoài ra, ta còn sử dụng đến tính chất tỉ lệ thức: Nếu $frac{a}{b} = frac{c}{d}$ thì $begin{cases}ad = bc frac{a}{b} = frac{c}{d} frac{{a + b}}{b} = frac{{c + d}}{d} frac{{a – b}}{b} = frac{{c – d}}{d} end{cases}$
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh các đẳng thức hình học.
Phương pháp:
Ta sử dụng định lí Ta-lét, định lí đảo và hệ quả để chứng minh.
Bài tập về định lí đảo và hệ quả của định lí Talet
-
Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$:
A. $frac{{AD}}{{AB}} = frac{{AE}}{{AC}} Rightarrow DE//BC$.
B. $frac{{AD}}{{DB}} = frac{{AE}}{{EC}} Rightarrow DE//BC$.
C. $frac{{AB}}{{DB}} = frac{{AC}}{{EC}} Rightarrow DE//BC$.
D. $frac{{AD}}{{DE}} = frac{{AE}}{{ED}} Rightarrow DE//BC$.
Lời giải: Theo định lý đảo của định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Nên D sai. Chọn đáp án D. -
Cho hình vẽ, trong đó $DE//BC$, $AD = 12$, $DB = 18$, $CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng:
A. 20
B. $frac{{18}}{{25}}$
C. 50
D. 45
Lời giải: Vì $DE//BC$, theo định lý Ta-lét ta có $left(frac{{AD}}{{BD}} = frac{{AE}}{{EC}} Leftrightarrow frac{{12}}{{18}} = frac{{AE}}{{30}}right) Rightarrow EA = frac{{30.12}}{{18}} = 20,cm$. Nên $AC = AE + EC = 50,cm$. Chọn đáp án C. -
Tính các độ dài $x,y$ trong hình bên:
A. $(x = 2sqrt 5 , y = 10)$
B. $(x = 10sqrt 5 , y = 9)$
C. $(x = 6sqrt 5 , y = 10)$
D. $(x = 5sqrt 5 , y = 10)$
Lời giải: Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông $OA’B’$, ta có:
[
begin{array}{l}
OA{‘^2} + A’B{‘^2} = OB{‘^2} Leftrightarrow 2^2 + 4^2 = OB{‘^2} Leftrightarrow OB{‘^2} = 20 Rightarrow OB’ = sqrt {20}
end{array}
]
$(A’B’ bot AA’, AB bot AA’ Rightarrow A’B’// AB)$ (Theo định lý từ vuông góc đến song song)
Áp dụng định lí Ta-let, ta có:
[
left{begin{array}{l}
frac{{OA’}}{{OA}} = frac{{OB’}}{{OB}} = frac{{A’B’}}{{AB}}
Rightarrow left{begin{array}{l}
frac{{sqrt {20} }}{x} = frac{2}{5}
frac{4}{y} = frac{2}{5}
end{array}right.
Rightarrow left{begin{array}{l}
x = frac{{5.sqrt {20} }}{2} = 5sqrt 5
y = frac{{4.5}}{2} = 10
end{array}right.
end{array}right.
]
Vậy $x = 5sqrt 5$ và $y = 10$. Chọn đáp án D.
- Cho hình vẽ sau. Có bao nhiêu cặp đường thẳng song song?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải: Ta có: $left(frac{{MN}}{{PQ}} = frac{4}{8} = frac{1}{2}; frac{{ON}}{{OP}} = frac{{3.5}}{{3 + 4}} = frac{1}{2} Rightarrow frac{{MN}}{{PQ}} = frac{{ON}}{{OP}}right)$ (Leftrightarrow MN // PQ) (định lý Thalès đảo) (1)
Ta có: $left(frac{{OE}}{{PE}} = frac{3}{4}; frac{{OF}}{{FQ}} = frac{{2.4}}{{3.2}} = frac{3}{4} Rightarrow frac{{OE}}{{PE}} = frac{{OF}}{{FQ}}right)$ (Rightarrow EF // PQ) (định lý Thalès đảo) (2)
Từ (1), (2) (Rightarrow MN // EF) (cùng song song với (PQ)).
Vậy có 3 cặp đường thẳng song song. Chọn đáp án D.
- Cho tứ giác (ABCD) có (O) là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua (A) và song song với (BC) cắt (BD) ở (E). Đường thẳng qua (B) song song với (AD) cắt (AC) ở (F). Chọn kết luận sai?
A. $frac{{OE}}{{OB}} = frac{{OA}}{{OC}}$
B. $frac{{EF}}{{AB}} = frac{{OE}}{{OB}}$
C. $frac{{OB}}{{OD}} = frac{{OF}}{{OA}}$
D. $frac{{OE}}{{OD}} = frac{{OF}}{{OC}}$
Lời giải:
$(AE // BC)$ nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có: $frac{{OE}}{{OB}} = frac{{OA}}{{OC}}$ (1)
$(BF // AD)$ nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có: $frac{{OB}}{{OD}} = frac{{OF}}{{OA}}$ (2)
Từ (1), (2) (Rightarrow $frac{{OE}}{{OB}} cdot frac{{OB}}{{OD}} = frac{{OA}}{{OC}} cdot frac{{OF}}{{OA}}$ hay $frac{{OE}}{{OD}} = frac{{OF}}{{OC}}$)
Chọn đáp án B.
