Đường cao trong tam giác là một khái niệm quan trọng trong hình học và liên quan đến nhiều bài toán thú vị. Hãy cùng tìm hiểu về đường cao trong tam giác, cách tính đường cao một cách đơn giản nhất.
Nội dung
Công thức tính đường cao trong tam giác thường
Để tính đường cao trong tam giác, chúng ta sử dụng công thức Heron như sau:
Trong đó, a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác; ha là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:
Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB = 4 cm, BC = 7 cm, AC = 5 cm. Hãy tính đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC và diện tích tam giác ABC.
Giải:
Nửa chu vi tam giác: p = (AB + BC + AC) / 2 = (4 + 7 + 5) / 2 = 8(cm)
Chiều cao 
= 2 sqrt(8) = 4 sqrt(8)(cm)
Xét tam giác ABC, ta có:
Như vậy, đường cao AH = 4 sqrt(8)(cm), diện tích tam giác ABC = 14 sqrt(8)(cm^2).
Công thức tính đường cao trong tam giác đều
Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng a như hình vẽ:
Trong đó:
- h là đường cao của tam giác đều
- a là độ dài cạnh của tam giác đều
Công thức tính đường cao trong tam giác vuông
Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình vẽ trên:
Có các công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
- a^2 = b^2 + c^2
- b^2 = a b’ và c^2 = a c’
- a h = b c
- h^2 = b’^2 + c’^2
Trong đó:
- a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;
- b’ là đường chiếu của cạnh b lên cạnh huyền;
- c’ là đường chiếu của cạnh c lên cạnh huyền;
- h là chiều cao của tam giác vuông từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.
Ví dụ 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC^2 = CH BC = 16 BC
Theo định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông góc A ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
=> 15^2 + 16 BC = BC^2
=> BC^2 – 16 BC – 225 = 0
=> BC^2 – 25 BC + 9 BC – 225 = 0
=> BC(B^2 – 25) + 9(BC – 25) = 0
=> (BC – 25)(BC + 9) = 0
=> BC = 25 hoặc BC = -9 (loại)
=> AC^2 = 16 BC = 16 25 = 400 => AC = 20 (cm)
Xét tam giác vuông ABC, ta có: AH BC = AB AC (hệ thức lượng)
=> AH = AB AC / BC = 15 20 / 25 = 12(cm)
Vậy BC = 25(cm); AC = 20(cm); AH = 12(cm)
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, AB = 24cm, AC = 32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.
Giải:
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 (theo định lý Pythagore)
BC^2 = 24^2 + 32^2
BC^2 = 1600
BC = 40(cm)
EC = BC / 2 = 40 / 2 = 20(cm)
Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:
Có ∠A = ∠E = 90o
∠C chung
=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)
=> AC / EC = AB / ED
=> ED = AB * EC / AC = 15cm
Vậy DE = 15cm.
Công thức tính đường cao trong tam giác cân
Giả sử các bạn có tam giác cân ABC tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình trên:
Công thức tính đường cao AH:
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:
=> HB = HC = 1/2 * BC
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:
AH^2 + BH^2 = AB^2
=> AH^2 = AB^2 – BH^2
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, có BC = 30(cm), đường cao AH = 20(cm). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.
Giải: Xét tam giác ABC cân tại A có BC = 30(cm)
=> BH = CH = 15(cm).
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
Kẻ H’ giống H, giờ ta phải tính BK = ?
Ta có:
Mặt khác
Do đó, ta có
Định nghĩa đường cao trong tam giác
Đường cao trong tam giác là đoạn thẳng vuông góc được kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy của đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
Tính chất ba đường cao của một tam giác
Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Các bạn chỉ cần tính các thành phần chưa biết trong các công thức tính đường cao trong tam giác ở trên là có thể tính được đường cao trong tam giác.
Trọng tâm là gì? Có công thức tính trọng tâm của tam giác.
