Bạn đã từng nghe về đường trung trực? Đó là một trong những kiến thức quan trọng được học trong môn Toán lớp 7. Đường trung trực là đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Hôm nay, chúng ta cùng khám phá chi tiết về đường trung trực, cùng với các tính chất và bài tập có lời giải. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức trong quá trình học tập và ôn luyện tại nhà.
Nội dung
I. Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Ví dụ: Giả sử d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M nằm trên d. Khi đó, ta có KL: MA = MB.
Định lí 2: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
II. Tính chất đường trung trực
2.1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Trên hình vẽ dưới đây, dd là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng có thể nói rằng: AA đối xứng với BB qua dd.
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
2.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Trên hình vẽ, điểm OO là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Ta có OA = OB = OC. Điểm OO là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
III. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng.
- Phương pháp: Để chứng minh dd là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta có thể chứng minh dd chứa hai điểm cách đều AA và BB hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
- Phương pháp: Ta sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.”
Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất.
- Phương pháp:
- Sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.
- Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.
Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Phương pháp: Sử dụng tính chất giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân.
- Phương pháp: Chú ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này.
Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông.
- Phương pháp: Ta chú ý rằng trong tam giác vuông, giao điểm của các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền.
IV. Cách xác định đường trung trực của một đoạn thẳng
Để xác định đường trung trực của một đoạn thẳng, ta thực hiện các bước sau đây:
- Vẽ đoạn thẳng AB trên mặt phẳng.
- Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB bằng cách chia đoạn AB thành hai phần bằng nhau. Ký hiệu trung điểm là M.
- Vẽ một đường thẳng nằm qua trung điểm M và vuông góc với đoạn thẳng AB. Đường này chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
- Đường trung trực này cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm M và có hướng đi qua trung điểm M là vuông góc đối với đoạn thẳng AB.
- Kiểm tra lại kết quả bằng cách đo góc giữa đường trung trực và đoạn thẳng AB. Nếu góc này là 90 độ, tức là đường trung trực đã được xác định chính xác.
Đây là cách đơn giản và hiệu quả để xác định đường trung trực của một đoạn thẳng.
V. Một số câu hỏi thường gặp về đường trung trực
Số đường trung trực trong một đoạn thẳng?
Vì đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một điểm là trung điểm, do đó mỗi đoạn thẳng có duy nhất một đường trung trực.
Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
Khi tìm hiểu về định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng, ta cần biết cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng như sau:
Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và một điểm mà nó đi qua.
Bước 2: Dựa vào định lí 1: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.” Nghĩa là nếu điểm M thuộc đường thẳng AB thì MA = MB.
Ví dụ: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu MA có độ dài 5cm thì độ dài MB bằng bao nhiêu?
Giải: Vì điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên theo định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực ta có MA = MB. Mà MA = 5cm (giả thiết), suy ra MB = 5cm.
Ví dụ: Vẽ một đoạn thẳng MN, sau đó hãy dùng thước thẳng và compa để dựng đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?
Ví dụ: Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Gợi ý: Sử dụng định lí.
Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Gợi ý đáp án
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại I. Hai tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại O.Hai đường trung trực của 2 cạnh AB và AC cắt nhau tại K.
a) Chứng minh: BM = CN.
b) Chứng minh: OB = OC
c) Chứng minh các điểm A, O, I, K thẳng hàng.
Bài 2: Trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB, lấy điểm M, N nằm ở hai nửa hai mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB.
a) Chứng minh.
b) MN là tia phân giác của AMB.
Bài 3: Cho góc xOy = 50°, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm M sao cho Ox là trung trực của đoạn thẳng AN, vẽ điểm M sao cho Oy là trung trực của đoạn thẳng AM.
a) Chứng minh: OM = ON.
b) Tính số đo.
Bài 4: Cho 2 điểm A và B nằm trên cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của đường thẳng BC, AC cắt d tại E. Trên d lấy điểm M bất kỳ.
a) So sánh MA + MB và AC.
b) Tìm vị trí của M trên d để MA + MB ngắn nhất.
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.
a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì.
b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trên hình vẽ?
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường trung trục của cạnh AC cắt BC tại I và cắt AC tại E.
a) Chứng minh: IA = IB = IC.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn AI, chứng minh: MH = ME.
c) BE cắt AI tại N, tính tỉ số của đoạn MN và AI.
Bài 7: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Với điều kiện nào sau đây thì đường thẳng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD?
Bài 8: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Cho MA = 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?
Bài 9: Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ∆AMN = ∆BMN.
Bài 10: Cho ba tam giác ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Bài 11: Cho ΔABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của ∠ACB. Tính các góc của ΔABC.
Bài 12: Cho ΔABC cân tại A, có ∠A = 40°, đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính ∠CAD.
Bài 13: Cho ΔABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của ∠ACB. Tính các góc của ΔABC.
