Bài viết này sẽ hướng dẫn cách xác định góc giữa hai vecto và góc giữa hai đường thẳng bằng phương pháp giải chi tiết. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong toán học, nhất là trong lĩnh vực hình học không gian.
Nội dung
Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay
A. Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong không gian, ta có thể thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song (có thể trùng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.
Lưu ý 1: Để tính góc này, ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác.
Cách 2. Tìm hai vectơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2. Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) = …
Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vectơ u1→, u2→ qua các vectơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→.
A. 45° B. 90° C. 120° D. 60°
Hướng dẫn giải:
Vì DH→ = AE→ (ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).
Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?
A. 90° B. 60° C. 45° D. 120°
Hướng dẫn giải:
Vì EG→ = AC→ (tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên: <ABE = <EGC = 60° (do ABCD là hình vuông).
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:
A. 45° B. 90° C. 60° D. 120°
Hướng dẫn giải:
Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương.
Khi đó, tam giác AB’C đều (AB’ = B’C = CA = a√2) do đó ∠B’CA = 60° .
Lại có, DA’ song song CB’ nên (AC, DA’) = (AC, CB’) = ∠ACB’ = 60°.
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác ABC và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?
Hướng dẫn giải:
Ta có: AC // A’C’ (do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA’C’ nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên: (AC, A’D) = (AC, CB’) = ∠DA’C’
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?
A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°
B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°
C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°
D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.
Hướng dẫn giải:
Ta có (AA’, B’D’) = (BB’, B’D’) = ∠BB’C = 90°.
Khẳng định B sai. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (IE; JF) bằng
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải:
Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD.
Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD.
Từ (1) và (2) suy ra:
Do đó IJEF là hình thoi.
Suy ra (IE; JF) = 90°.
Chọn D
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?
A. 120° B. 90° C. 60° D.45°
Hướng dẫn giải:
Chọn B
- Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều.
Tương tự tam giác ABD đều.
⇒ BC = BD (= AB)
- Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :
BC = AC.
AD = BD
CD chung
⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ
⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
⇒ IJ ⊥ AB.
⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 60° B. 30° C. 90° D. 45°
Lời giải:
- Gọi M là trung điểm của CD
- Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) có AM, BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.
Suy ra AB⊥CD nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.
Chọn C
Câu 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?
A. 0° B. 30° C. 90° D. 60°
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên:
Suy ra AO ⊥ (CD)
Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD).
⇒ (MN; SC) = (SA; SC).
Xét tam giác SAC, ta có:
⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC
⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°
Chọn C
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a2 và BC = 2a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và SB.
Lời giải:
Chọn C
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có: SO ⊥ (ABC) nên SO là đường cao của tam giác SAB.
Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và SB là góc giữa đường cao (SO) và cạnh đáy (AB) của tam giác SAB.
Với đặc điểm SA = SB = SC = AB = AC = a2 và BC = 2a, ta có thể tính được góc giữa AC và SB.
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti’s ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L’Oreal mua 1 tặng 3
Hãy đến và trải nghiệm công nghệ giáo dục tiên tiến tại fptskillking.edu.vn ngay hôm nay!
